Logika definicje rozdz. I

Zdanie w sensie logicznym

wyrażenie, które jest prawdziwe albo fałszywe. Wyrażenie jest prawdziwe, gdy opisuje rzeczywistość tak jak się ona ma, natomiast wyrażenie jest fałszywe kiedy opisuje rzeczywistość nie tak, jak się ona ma. Prawdę oraz fałsz nazywamy wartościami logicznymi, dlatego zdaniem w sensie logicznym jest takie wyrażenie, które ma wartość logiczną.

Zmienna zdaniowa

Wyrażenie występujące w rachunku zdań, za które wolno wstawić dowolne zdanie. Jako zmiennych zdaniowych używa się liter p, q, r, s,t. O ile za różne zmienne zdaniowe wolno wstawić to samo zdanie, o tyle za jedną zmienną zdaniową występującą w danym wyrażeniu kilkakrotnie nie wolno wstawić różnych zdań. Wstawianie musi być bowiem konsekwentne.

Spójnik jednoargumentowy

Wyrażenie, które po dołączeniu do niego jednego zdania jako argumentu daje nowe zdanie o wartości logicznej wyznaczonej w szczególny sposób przez wartość logiczną zdania dołączonego.

Spójnik dwuargumentowy

Wyrażenie, które po dołączeniu do niego dwóch zdań jako argumentów daje nowe zdanie o wartości logicznej wyznaczonej w szczególny sposób przez wartości logiczne dołączonych zdań.

Spójnik negacji

Zdanie dołączone do spójnika negacji nazywamy zdaniem zanegowanym, zdanie powstałe przez zanegowanie określonego zdania nazywamy negacją. Tworzą one parę zdań wzajem sprzecznych.

Spójnik koniunkcji

Charakteryzuje się tym, że powstałe z niego zdanie jest prawdziwe tylko wtedy, gdy oba jego czynniki są prawdziwe, jeśli choć jeden z czynników jest fałszywy to całe zdanie też jest fałszywe.

Spójnik alternatywy

Charakteryzuje się tym, że powstałe z niego zdanie jest prawdziwe już wtedy, gdy chociaż jeden z jego składników jest prawdziwy, kiedy oba składniki są fałszywy to całe zdanie też jest fałszywe.

Spójnik implikacji

Charakteryzuje się tym, że powstałe z niego zdanie jest fałszywe tylko wtedy gdy poprzednik jest prawdziwy a następnik jest fałszywy.

Spójnik równoważności

Charakteryzuje się tym, że powstałe z niego zdanie jest prawdziwe wtedy gdy oba człony mają taką samą wartość logiczną, czyli oba są prawdziwe albo oba są fałszywe.

Wyrażenie rachunku zdań

1. Każda zmienna zdaniowa jest wyrażeniem rachunku zdań 2. jeżeli sekwencja postaci A jest wyrażeniem rachunku zdań, to także sekwencja postaci ~(A) jest wyrażeniem rachunku zdań 3. jeżeli sekwencja postaci A oraz B są wyrażeniami rachunku zdań, to także sekwencje postaci A^B AvB A>B A=B są wyrażeniami rachunku zdań.

Teza rachunku zdań

Wyrażenie rachunku zdań, które przy wszelkich wstawieniach za występujące w nich zmienne zdaniowe przekształcają się w zdania prawdziwe. Tez rachunku zdań jest nieskończenie wiele.

Zasada tożsamości

Każde zdanie jest równoważne z samym sobą.

Zasada podwójnego przeczenia

Każde zdanie jest równoważne zdaniu powstałemu przez podwójne jego zanegowanie.

Zasada sprzeczności

Dwa zdania wzajem sprzeczne nie są oba prawdziwe.

Zasada wyłączonego środka

Dwa zdania wzajem sprzeczne nie są oba fałszywe.

Prawo redukcji do absurdu

Jeśli dane zdanie implikuje swoją negację, to ta negacja jest prawdziwa.

Prawo symplifikacji

Koniunkcja dwóch zdań implikuje pierwsze z tych zdań.

Prawo przemienności koniunkcji

Koniunkcja pierwszego i drugiego zdania jest równoważna koniunkcji drugiego i pierwszego zdania.

Prawo addycji

Każde zdanie implikuje alternatywę, której jest składnikiem.

Prawo przemienności alternatywy

Alternatywa pierwszego i drugiego zdania jest równoważna alternatywie drugiego i pierwszego zdania.

Pierwsze prawo de Morgana

Negacja koniunkcji zdań jest równoważna alternatywie negacji tych zdań.

Drugie prawo de Morgana

Negacja alternatywy zdań jest równoważna koniunkcji negacji tych zdań.

modus ponendo ponens

Gdy jedno zdanie implikuje drugie i jest tak jak stwierdza pierwsze zdanie to jest też tak jak stwierdza drugie zdanie.

modus tollendo tollens

Gdy jedno zdanie implikuje drugie i nie jest tak jak mówi drugie to nie jest też tak jak mówi pierwsze zdanie.

Prawo Dunsa Szkota

Gdy dane zdanie jest fałszywe to implikuje ono dowolne zdanie.

Prawo transpozycji

Gdy jedno zdanie implikuje drugie to negacja drugiego implikuje negację pierwszego zdania.

Prawo przemienności równoważności

Równoważność pierwszego i drugiego zdania jest równoważna równoważności drugiego i pierwszego zdania.

Prawo łączności koniunkcji

Wskazuje na równoważność złożonych koniunkcji różniących się tylko usytuowaniem czynników.

Prawo łączności alternatywy

Wskazuje na równoważność złożonych alternatyw, różniących się tylko usytuowaniem składników.

Prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy

Wskazuje na równoważność swoiście złożonej koniunkcji ze swoiście złożoną alternatywą.

Prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji

Wskazuje na równoważność swoiście złożonej alternatywy ze swoiście złożoną koniunkcją.

Prawo komutacji

Wskazuje na równoważność swoiście przekształconych implikacji.

Prawo eksportacji

Implikacja o złożonym poprzedniku implikuje implikację o swoiście złożonym następniku.

Prawo importacji

Implikacja o złożonym następniku implikuje implikację o swoiście złożonym poprzedniku.

Prawo sylogizmu hipotetycznego

Gdy pierwsze zdanie implikuje drugie, a drugie implikuje trzecie, to pierwsze implikuje trzecie zdanie.

Prawo dylematu konstrukcyjnego

Gdy jedno zdanie implikuje dane zdanie i drugie implikuje dane zdanie i jest tak jak stwierdza pierwsze lub drugie zdanie to jest też tak jak mówi zdanie implikowane.

Formalizacja rachunku zdań

Polega na wyborze pewnych tez rachunku zdań jako aksjomatów i podaniu reguł wyprowadzania z jednych tez innych tez.

Reguła podstawiania

Jeżeli wyrażenie postaci A jest tezą rachunku zdań, to tezą rachunku zdań jest też wyrażenie postaci B powstałe z A przez konsekwentne podstawienie za występującą w nim zmienną zdaniową dowolnego wyrażenia rachunku zdań.

Reguła odrywania

Jeżeli wyrażenie postaci A>B jest tezą rachunku zdań i wyrażenie postaci A jest tezą rachunku zdań to także wyrażenie postaci B jest tezą rachunku zdań.

Reguła zastępowania

Jeżeli wyrażenie postaci A jest tezą rachunku zdań, to tezą rachunku zdań jest też wyrażenie postaci B powstałe z A przez zastąpienie występującego w A wyrażenia rachunku zdań innym wyrażeniem rachunku zdań odpowiadającym mu na podstawie definicji: (D1) C^D=~(C>~D) (D2) CvD=~C>D (D3) ~[(C>D)>~(D>C)]

Dowód wyrażenia W, na gruncie aksjomatów 1,2,3, w oparciu o reguły p, o,z

Ciąg wyrażeń rachunku zdań taki, że każde wyrażenie tego ciągu albo jest jednym z aksjomatów 1-3 albo powstaje z wcześniejszego wyrażenia ciągu przez zastosowanie reguły p, o lub z, a przy tym ostatnim wyrażeniem tego ciągu jest wyrażenie W.

Ogólne określenie dowodu

Dowodem wyrażenia W na gruncie aksjomatów tworzących zbiór A w oparciu o reguły tworzące zbiór R jest taki ciąg wyrażeń, że każde wyrażenie tego ciągu albo jest jednym z aksjomatów ze zbioru A albo powstaje z wcześniejszych wyrażeń tego ciągu przez zastosowanie którejś z reguł ze zbioru R, a przy tym ostatnim wyrażeniem tego ciągu jest wyrażenie W.