question  |
réponse |
|
commencer à apprendre
|
|
dowolne działanie h: A x A->A
|
|
|
Zbiór A posiadający działanie wewnętrzny to commencer à apprendre
|
|
|
|
|
Działanie h jest przemienne jeśli commencer à apprendre
|
|
|
|
|
Działanie h jest łączne jeśli commencer à apprendre
|
|
h(a, h(b,c)) =h(h(a,b),c)
|
|
|
Zbiór A posiadajacy tylko działenie wentęrzne łączne jest commencer à apprendre
|
|
|
|
|
e jest elementem neutralnym działania h jeśli commencer à apprendre
|
|
|
|
|
a' nazywamy elementem odwrotnym do a jeśli commencer à apprendre
|
|
|
|
|
Półgrupę posiadającą element neutralny nazywamy commencer à apprendre
|
|
|
|
|
Dla dowolnego działania istnieje co najwyżej jeden element neutralny commencer à apprendre
|
|
a′=h(a′,e)=h(a′, h(a, a′′)) = h(h(a′,a), a′′) = h(e, a′′) = a"
|
|
|
Jeśli działanie jest łączne to a ma elementów odwrotnych commencer à apprendre
|
|
|
|
|
Jeżeli działanie jest łączne to iloczyn elementów odwrotnych jest odwracalny commencer à apprendre
|
|
|
|
|
Łączność działania oznacza, że commencer à apprendre
|
|
wynik mnożenia nie zależy od kolejności go wykonywania
|
|
|
Przemienność działania oznacza że commencer à apprendre
|
|
wynik nie zależy od kolejność czynników
|
|
|
Jeżeli działanie wewnętrzne na A jest łączne to n-tą potęgą nazywamy commencer à apprendre
|
|
|
|
|
Jeśli e jest elementem neutralnym działania [potęgi] to commencer à apprendre
|
|
|
|
|
Jeśli a posiada element odwrotny to commencer à apprendre
|
|
definiujemy a^n=(a^-1)^-n
|
|
|
Jeśli działanie zapisujemy w sposób addytywny to zastępujemy potęgę commencer à apprendre
|
|
wielokrotnością na:=a+...+a
|
|
|
Działaniem zewnętrznym w A nazywamy commencer à apprendre
|
|
dowolne g: F x A->A, a elementy F nazywamy operaotrami
|
|
|
Działanie zewnętrzne g nazywamy rozdzielnym względem działa wewnętrznego h jeśli dla a i b z A i p z F zachodzi commencer à apprendre
|
|
g(p, h(a,b))=h(g(p,a), g(p,b))
|
|
|
Działaniem zewnętrznym g nazywamy łącznym względem łącznego działania h jeżeli dla p i q z F i a z A zachodzi commencer à apprendre
|
|
|
|
|
Działania zewnętrzne g1 g2 nazywamy przemiennymi jeśli dla dowolnych p z F1 q z F2 i a z A zachodzi commencer à apprendre
|
|
g1(p, g2(q,a))=g2(q, g1(p,a))
|
|
|
Strukturą algebraiczną określoną na zbiorze A składającą się z działań wewnętrznych (h) i zewnętrznych (g) nazywamy commencer à apprendre
|
|
(A, F1,..., Fm; h1,..., hn, g1,..., gm)
|
|
|
Jeśli dwie różne struktury algebraiczne mają równa liczbę działań i te same zbiory operatorów to odwzorowanie f: A->A' nazywamy commencer à apprendre
|
|
|
|
|
|
commencer à apprendre
|
|
|
|
|
|
commencer à apprendre
|
|
|
|
|
|
commencer à apprendre
|
|
|
|
|
|
commencer à apprendre
|
|
homomorfizm bijektywny [odwzorowanie odwrotne też jest homomorfizmem]
|
|
|
|
commencer à apprendre
|
|
homomorfizm na tym samym zbiorze A=A'
|
|
|
|
commencer à apprendre
|
|
homomorfizm sam w siebie i biejckja
|
|
|
Podzbiór (w A) B jest zamknięty ze względu na działanie wewnętrzne h (w A) jeżeli commencer à apprendre
|
|
|
|
|
Zbiór B jest zamknięty ze względu na działanie zewnętrzne jeśli commencer à apprendre
|
|
|
|
|
Jeżeli (A, F1,..., Fm; h1,..., hn, g1,..., gm) i B (w A) jest zamknięty na wszytskie działania to commencer à apprendre
|
|
(B, F1,..., Fm; h1|B,..., hn|B, g1|B,..., gm|B) jest strukturą indukowną w A
|
|
|
Homomorfizmem struktury indukowanej w strukturę pierwotną jest commencer à apprendre
|
|
odwzorowanie włożenia (inkluzji) i: B ∋ x -> x ∈ A
|
|
|
Jeśli w strukturze A spełnione są warunki przemienności, łączności i rozdzielności to commencer à apprendre
|
|
w strukturze indukowanej również są zachowane
|
|
|
Obrazem homomorfizmu f: A->B nazywamy strukturę złożoną commencer à apprendre
|
|
ze zbioru f(A) i działań indukowanych na f(A) z B
|
|
|
Przeciwobraz homomorfizmu f: A->B na C zgodnym z działaniami B (C w B), (f^-1(C)) jest commencer à apprendre
|
|
podzbiorem A zgodnym z działaniami
|
|
|
Produktem struktur PAi nazywamy commencer à apprendre
|
|
strukturę o tej samej liczbie działań i tym samym zbiorze operatorów wraz zhomomofizmami pi: PAi-->Ai
|
|
|
Dla dowolnej struktury B i homomorfizmów gi: B--> PAi commencer à apprendre
|
|
istnieje jedyny homomorfizm f: B-> PAi taki że pi*f=gi
|
|
|
|
commencer à apprendre
|
|
|
|
|
