|
question |
réponse |
ciagiem liczbowym (nieskonczonym) nazywamy: commencer à apprendre
|
|
funkcje f odwzorowujaca zbior liczb naturalnych w zbior liczb rzeczywistych
|
|
|
|
commencer à apprendre
|
|
dla argumentu n nazywamy n-tym wyrazem ciągubi oznaczamy an
|
|
|
|
commencer à apprendre
|
|
|
|
|
ciagi mozna wyrazac roznie: commencer à apprendre
|
|
wzorem ogolnym lub rekurencyjniw, czyli wyrazajac kazdy kolejny wyraz w zaleznosci od wyrazow poprzednich
|
|
|
|
commencer à apprendre
|
|
|
|
|
coag nazywamy arytmetycznym... commencer à apprendre
|
|
jesli istnieje taka liczba rzeczywista r, ze dla kazdej liczby naturalnej n zachodzi warunek an+1=an+r, gdzie r to roznica ciagu arytmetycznego
|
|
|
wzor na n-ty wyraz ciagu arytmetycznego: commencer à apprendre
|
|
|
|
|
wzor na sume n poczatkowych wyrazow ciagu arytmetycznego: commencer à apprendre
|
|
|
|
|
ciag nazywamy geometrycznym... commencer à apprendre
|
|
jesli istnieje taka liczba rzeczywista q, ze dla kazdej liczby naturalnej n zachodzi warunek an+1=an*q, gdzie q to iloraz ciagu geometrycznego
|
|
|
wzor na n-ty wyraz ciagu geometrycznego commencer à apprendre
|
|
|
|
|
wzor na sume n poczatkowych wyrazow ciagu geometrycznego (jesli q!=1) commencer à apprendre
|
|
|
|
|
|
commencer à apprendre
|
|
“dla kazdego”neN(an<an+1)
|
|
|
|
commencer à apprendre
|
|
“dla kazdego”neN(an>an+1)
|
|
|
ciag jest niemalejacy jesli commencer à apprendre
|
|
“dla kazdego”neN(an\<an+1)
|
|
|
ciag jest nierosnacy jesli commencer à apprendre
|
|
“dla kazdego”neN(an>/an+1)
|
|
|
ciag jest ograniczony z dolu jesli commencer à apprendre
|
|
“istnieje takie”meR ze “dla kazdego”neN(an>/m)
|
|
|
ciag jest ograniczony z gory jesli commencer à apprendre
|
|
“istnieje”MeR ze “dla kazdego”neN(an\<M)
|
|
|
ciag jest ogarniczony jesli commencer à apprendre
|
|
“istnieje”m, MeR ze “dla kazdego”neN(m\<an\<M)
|
|
|
taka liczbae rzeczywista g, ze „dla kazdego”E>0 „istnieje”n0 ze „dla kazdego”n>/n0(|an-g| commencer à apprendre
|
|
taka liczbe rzeczywista g, ze “dla kazdego”E>0 “istnieje”n0 ze “dla kazdego”n>/n0(|an-g|<E)
|
|
|
ciag an ktory ma granice g nazywamy commencer à apprendre
|
|
ciagiem zbieznym i piszemy lim n->”8”(an=g)
|
|
|
|
commencer à apprendre
|
|
|
|
|
|
commencer à apprendre
|
|
0
|
|
|
|
commencer à apprendre
|
|
|
|
|
|
commencer à apprendre
|
|
|
|
|
ciag ktory nie ma granicy skonczonej(wlasciwej) nazywamy commencer à apprendre
|
|
ciagiem rozbieznym. wsrod ciagow rozbieznych wyroznia sie ciagi rozbiezne do +”8” i ciagi rozbiezne do -“8” oraz ciagi nie dazace do zadnej granicy
|
|
|
|
commencer à apprendre
|
|
|
|
|
jesli ciag jest zbiezny... commencer à apprendre
|
|
|
|
|
Jesli ciagi an i bn sa zbiezne oraz lim n->”8”(an)=a oraz lim n->”8”(bn)=b, ceR to: *c commencer à apprendre
|
|
If the sequences an and bn converge and lim n->”8”(an)=a and lim n->”8”(bn)=b, ceR then: *c
|
|
|
Jesli ciagi an i bn sa zbiezne oraz lim n->”8”(an)=a oraz lim n->”8”(bn)=b, ceR to: + commencer à apprendre
|
|
lim n->”8”(an+bn)=lim n->”8”(an)+lim n->”8”(bn)=a+b
|
|
|
Jesli ciagi an i bn sa zbiezne oraz lim n->”8”(an)=a oraz lim n->”8”(bn)=b, ceR to: - commencer à apprendre
|
|
lim n->”8”(an-bn)=lim n->”8”(an)-lim n->”8”(bn)=a-b
|
|
|
Jesli ciagi an i bn sa zbiezne oraz lim n->”8”(an)=a oraz lim n->”8”(bn)=b, ceR to: * commencer à apprendre
|
|
lim n->”8”(an*bn)=lim n->”8”(an)*lim n->”8”(bn)=a*b
|
|
|
lim n->”8”(an/bn)=lim n->”8”(an)/lim n->”8”(bn)=a/b, bn!=0, b!=0 commencer à apprendre
|
|
lim n->”8”(an/bn)=lim n->”8”(an)/lim n->”8”(bn)=a/b, bn!=0, b!=0
|
|
|
Jesli ciagi an i bn sa zbiezne oraz lim n->”8”(an)=a oraz lim n->”8”(bn)=b, ceR to: ^ commencer à apprendre
|
|
lim n->”8”(an^bn)=lim n->”8”(an)^lim n->”8”(bn)=a^b, jesli okreslony jest ciag o wyrazach an^bn oraz lim n->”8”(an)=a>0
|
|
|
twierdzenie o trzech ciagach commencer à apprendre
|
|
jezeli ciagi an, bn i cn spelniaja warunki: an\<bn\<cn dla kazdego n>/n0 oraz lim n->”8”(an)=lim n->”8”(cn)=g, to lim n->”8”(bn)=g
|
|
|
z twierdzenia o trzech ciagach mozna pokazac, ze: commencer à apprendre
|
|
lim n->”8”(pierwsiatek n stopnia z n)=1, lim n->”8”(pierwiastwk n stopnia z a)=1, a>1
|
|
|
jezeli ciag an jest ograniczony i lim n->”8”(bn)=0 to commencer à apprendre
|
|
|
|
|
|
commencer à apprendre
|
|
|
|
|
zalozmy ze ciag liczbowy an jest zbiezny i lim n->”8”(an)=a. Wtedy: potega commencer à apprendre
|
|
lim n->”8”(an^p)=(lim n->”8”(an))^p=a^p, jesli dla kazdego neN an>0, a>0, peR
|
|
|
zalozmy ze ciag liczbowy an jest zbiezny i lim n->”8”(an)=a. Wtedy: pierwiastek commencer à apprendre
|
|
let's assume that the number sequence an is convergent and lim n->”8”(an)=a. Then: the root
|
|
|
zalozmy ze ciag liczbowy an jest zbiezny i lim n->”8”(an)=a. Wtedy: ciag w potedze commencer à apprendre
|
|
“dla kazdego” r>0 lim n->”8”(r^an)=r^lim n->”8”(an)=r^a
|
|
|
zalozmy ze ciag liczbowy an jest zbiezny i lim n->”8”(an)=a. Wtedy: sin commencer à apprendre
|
|
lim n->”8”(sin an)=sin(lim n->”8”(an)=sin a
|
|
|
zalozmy ze ciag liczbowy an jest zbiezny i lim n->”8”(an)=a. Wtedy: cos commencer à apprendre
|
|
lim n->”8”(cos an)=cos(lim n->”8”(an)=cos a
|
|
|
zalozmy ze ciag liczbowy an jest zbiezny i lim n->”8”(an)=a. Wtedy tg commencer à apprendre
|
|
lim n->”8”(tg an)=tg(lim n->”8”(an)=tg a, jesli “dla kazdego” keZ (Pi/2+kPi)! e(an) i (Pi/2+kPi)!=a
|
|
|
zalozmy ze ciag liczbowy an jest zbiezny i lim n->”8”(an)=a. Wtedy ctg commencer à apprendre
|
|
lim n->”8”(ctg an)=ctg(lim n->”8”(an)=ctg a, jesli “dla kazdego” keZ (kPi)! e(an) i (kPi)!=a
|
|
|
zalozmy ze ciag liczbowy an jest zbiezny i lim n->”8”(an)=a. Wtedy log commencer à apprendre
|
|
jesli p>0, p!=1 oraz “dla kazdego”neN an>0, a>0, to lim n->”8”(logp an)=logp(lim n->”8”(an))=logp a
|
|
|
kazdy ciag monotoniczny i ograniczony jest commencer à apprendre
|
|
|
|
|
ciag jest rozbiezny do plus nieskonczonosci wtedy i tylko wtedy gdy commencer à apprendre
|
|
“dla kazdego”MeR “istnieje”n0, takie ze “dla kazdego” n>/n0 an>M. Piszemy wtedy lim n->”8”(an)=+”8”
|
|
|
„dla kazdego”MeR „istnieje”n0, takie ze „dla kazdego” n>/n0 an”8”(an)=-„8” commencer à apprendre
|
|
“dla kazdego”MeR “istnieje”n0, takie ze “dla kazdego” n>/n0 an”8”(an)=-“8”
|
|
|
o ciagach rozbieznych do plus i minus nieskonczonosci mowimy ze posiadaja granice commencer à apprendre
|
|
|
|
|
niech an i bn beda ciagami rozbieznymi do +”8”, a cn i dn beda ciagami rozbieznymi do -“8”. Wtedy: an+bn commencer à apprendre
|
|
|
|
|
niech an i bn beda ciagami rozbieznymi do +”8”, a cn i dn beda ciagami rozbieznymi do -“8”. Wtedy: cn+dn commencer à apprendre
|
|
|
|
|
niech an i bn beda ciagami rozbieznymi do +”8”, a cn i dn beda ciagami rozbieznymi do -“8”. Wtedy: an*bn commencer à apprendre
|
|
|
|
|
niech an i bn beda ciagami rozbieznymi do +”8”, a cn i dn beda ciagami rozbieznymi do -“8”. Wtedy: cn*dn commencer à apprendre
|
|
|
|
|
niech an i bn beda ciagami rozbieznymi do +”8”, a cn i dn beda ciagami rozbieznymi do -“8”. Wtedy: an*cn commencer à apprendre
|
|
|
|
|
niech lim n->”8”(an)=a i lim n->”8”(bn)=+”8”, wtedy lim n->”8”(an+bn)= commencer à apprendre
|
|
|
|
|
niech lim n->”8”(an)=a i lim n->”8”(bn)=-“8”, wtedy lim n->”8”(an+bn)= commencer à apprendre
|
|
|
|
|
niech lim n->”8”(an)=a!=0 i lim n->”8”(bn)=+”8”, wtedy lim n->”8”(an*bn)= commencer à apprendre
|
|
+”8” dla a>0 i -“8” dla a<0
|
|
|
niech lim n->”8”(an)=a i lim n->”8”(bn)=-”8”, wtedy lim n->”8”(an*bn)= commencer à apprendre
|
|
-“8” dla a>0 i +”8” dla a<0
|
|
|
